CHUYÊN ĐỀ
BÀI GIẢNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nhận biết được các dạng phương trình lượng giác thường gặp và cách giải.
 Kĩ năng
+ Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+ Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ĐỀ
BÀI

Sử dụng các công thức
biến đổi lượng giác
4 phương trình lượng giác cơ bản

4 dạng phương trình lượng giác
Đưa về phương trình tích hoặc

thường gặp

đánh giá bất đẳng thức, hàm số

a sin x  b cos x  c
4 phương trình lượng giác cơ bản

a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d
a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0
a  tan 2 x  cot 2 x   b  tan x  cot x   c  0

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình thuần nhất
Phương pháp giải
a sin x  b cos x  c

Ví dụ: Giải phương trình

 a, b   \ 0 .

3 sin 3 x  cos 3 x  2.

Hướng dẫn giải

Để giải phương trình có dạng trên, ta thực hiện
theo các bước s

Bài giảng một số phương trình lượng giác thường gặp

BÀI GIẢNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

Góc

I

II

III

IV

sin x

+

+

–

–

cos x

+

–

–

+

tan x

+

–

+

–

cot x

+

–

+

–

2. Công thức lượng giác cơ bản
tan  .cot   1

sin 2   cos 2   1

1  tan 2  

1
cos 2 

1  cot 2  

1
sin 2 

3. Cung liên kết
Cung đối nhau

Cung bù nhau

Cung phụ nhau

cos  a   cos a

sin   a   sin a



sin   a   cos a
2


sin   a    sin a

cos   a    cos a



cos   a   sin a
2



tan   a    tan a

tan   a    tan a



tan   a   cot a
2


cot  a    cot a

cot   a    cot a



cot   a   tan a
2


Góc hơn kém π

sin       sin 
cos       cos 

Góc hơn kém

π
2



sin      cos 
2



cos       sin 
2



tan      tan 



tan       cot 
2


cot      cot 



cot       tan 
2


Cách nhớ:
cos đối
sin bù
phụ chéo
tang và côtang
hơn kém nhau pi

Trang 1

4. Công thức cộng cung
sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b

tan  a  b  

cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b

tan a  tan b
1  tan 

Bài giảng hàm số lượng giác

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
 Kiến thức
+ Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+

Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình sin x = a
 Nếu a  1 : Phương trình vô nghiệm.
 Nếu a  1 . Đặt a  sin  hoặc a  sin   , phương trình tương đương với

 x    k 2
sin x  sin   
k   .
 x      k 2
 x     k .360
sin x  sin    
k   .
 x  180     k .360
 x  arcsin a  k 2
sin x  a  
k   .
 x    arcsin a  k 2

Tổng quát:
 f  x   g  x   k 2
sin f  x   sin g  x   
k   .
 f  x     g  x   k 2

Các trường hợp đặc biệt



sin x  1  x 



sin x  1  x  



sin x  0  x  k

2

k   .

 k 2




2

 k 2

k   .

k   .

2. Phương trình cos x  a

 Nếu a  1 : Phương trình vô nghiệm.
 Nếu a  1 . Đặt a  cos  hoặc a  cos   , phương trình tương đương với
cos x  cos   x    k 2

k   .

cos x  cos    x      k .360  k    .
cos x  a  x  

Bài giảng phương trình lượng giác cơ bản

1

 CHINH PHỤC TOÁN THPT

LÊ QUANG XE

PHƯƠNG PHÁP
S

scale=0.7
A

B

D

I

GIẢI TOÁN
LỚP 11

C

MATHS




Q

Blog của Fanpage
toanthayxe.com

Phone
0967003131

Contact
lequangxe@gmail.com

LƯU HÀNH NỘI BỘ 

Muåc luåc
Phần I

ĐẠI SỐ

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

Bài 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
2
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Bài 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
5
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Phương pháp giải toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Loại 1: Phương trình thuần nhất với sin  kx  và cos  kx 
 Dạng phương trình: a sin  kx   b cos  kx   c .
 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho
a
a b
2

2

b

sin  kx  

2

a b
2

2

a 2  b 2 , ta được

cos  kx  

2


 

a
b
Do 


  1 nên đặt
2
2
2
2
 a b   a b 

a
a 2  b2

c
a  b2
2

.
b

 cos  

Khi đó phương trình trở thành cos  sin x  sin  cos x 

a 2  b2

c
a b
2

2

 sin  .

 sin  x    

c
a  b2
2

.

Đây là phương trình sơ cấp đã biết cách giải.
 Điều kiện có nghiệm:

c
a b
2

2

 1  a 2  b2  c2

2) Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai với sin x và cos x
 Dạng phương trình: a.sin 2 x  b.sin x cos x  c.cos 2 x  0
 Cách giải: Thực hiện 2 bước sau
- Bước 1: Kiểm tra cos x  0 có là nghiệm của phương trình hay không.
- Bước 2: Khi cos x  0 , chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta thu được phương trình
a tan 2 x  b tan x  c  0 .

Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải.
 Chú ý:
- Với phươ

Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác thường gặp

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Các hệ thức lượng giác cơ bản
* Hàm số y  sin x  D  R
* Hàm số y  cos x  D  R



* Hàm số y  tan x  D  R \   k 
2

* Hàm số y  cot x  D  R \ k 
* Hàm số y 

* Hàm số y 

u  x
v  x

 điều kiện xác định là v  x   0

u  x
v  x

 điều kiện xác định là v  x   0

2) Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
- Định nghĩa
Hàm số y  f  x  có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T  0 sao cho với
mọi x  D ta có:
* x  T  D và x  T  D
* f  x  T   f  x
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì T  2 ; hàm số y  cos x tuần
hoàn với chu kì T  2 ; hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì T   ; hàm số y  cot x tuần hoàn với
chu kì T   .
- Chú ý
* Hàm số y  sin  ax  b  tuần hoàn với chu kì T0 

2
a

* Hàm số y  cos  ax  b  tuần hoàn với chu kì T0 

2
a

* Hàm số y  tan  ax  b  tuần hoàn với chu kì T0 



* Hàm số y  cot  a

Tài liệu chủ đề hàm số lượng giác

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Loại 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số lượng giác
Với phương trình a.sin 2  kx   b.sin  kx   c  0 thì ta đặt t  sin  kx  với 1  t  1 , quy về phương trình
bậc hai: a.t 2  b.t  c  0  t  sin  kx   x
Với phương trình a.cos 2  kx   b.cos  kx   c  0 thì ta đặt t  cos  kx  với 1  t  1 , quy về phương
trình bậc hai: a.t 2  b.t  c  0  t  cos  kx   x
Với phương trình a.tan 2  kx   b.tan  kx   c  0 thì ta đặt t  tan  kx  quy về phương trình bậc hai:

a.t 2  b.t  c  0  t  tan  kx   x . Tương tự cho phương trình ẩn t  cot  kx 
Chú ý: Với phương trình bậc ba theo một hàm số lượng giác thì cách giải tương tự!
Loại 2: Phương trình nhóm nhân tử chung
Với phương trình f  x   0 , bằng các kĩ thuật phân tích, các công thức lượng giác đã học ta nhóm được
g  x  0
nhân tử chung và quy về dạng g  x  .h  x   0  
 h  x   0

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)





3 tan 2 x  1  3 tan x  1  0

b) 4cos 2 x  2

Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác cơ bản

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Loại 1: Phương trình sin x  m
 Nếu m  1 
 phương trình vô nghiệm, vì 1  sin x  1 với mọi x .
 Nếu m  1 
 phương trình có nghiệm


1
2
3
- Với m đẹp, cụ thể m  0;  ; 
;
; 1
2
2
2



 x    k 2
Khi đó sin x  m  sin x  sin a  
, k   .
 x      k 2


1
2
3
- Với m không đẹp, cụ thể m  0;  ; 
;
; 1 .
2
2
2



 x  arcsin m  k 2
Khi đó sin x  m  
, k  .
 x    arcsin m  k 2
 Loại 2: Phương trình cos x  m
 Nếu m  1 
 phương trình vô nghiệm, vì 1  cos x  1 với mọi x.
 Nếu m  1 
 phương trình có nghiệm



1
2
3
- Với m đẹp, cụ thể m  0;  ; 
;
; 1 .
2
2
2



 x    k 2
Khi đó cos x  m  cos x  cos a  
,  k   .
 x    k 2


1
2
3
- Với m không đẹp, cụ thể m  0;  ; 
;
; 1
2
2
2


 x  arccos m  k 2
Khi đó cos x  m  
, k  .
 x   arccos m  k 2

 Loại 3: Phương trình tan x  m
 Điều kiện: x 


2

 k  k    .

1


 Nếu m  0; 
; 1;  3  . Khi đó tan x  m  tan x  tan   x    k ,  k   .
3


1


 Nếu m  0; 
; 1;  3  . Khi đó tan x  m  x  arctan m  k ,  k  

Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác sơ cấp

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ THAM SỐ
Trong chủ đề này có một số bài toán bắt buộc phải sử dụng đến kiến thức đạo hàm (cuối chương trình
toán 11, và khảo sát hàm số của lớp 12 để giải quyết).
Phương pháp giải toán này tác giả xin trình bày chi tiết thông qua hệ thống ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập E  3; 2; 1;0;1;2 để phương trình

2 m sin x cos x  4 cos2 x  m  5 có nghiệm?
a) 2.

b) 3.

c) 4.

d) 5.
Lời giải:

Phương trình tương đương với m sin 2 x  2 cos 2 x  m  3
Phương trình có nghiệm  m 2  2 2   m  3  6 m  5  0  m  
2

5
6

Mà m  E 
 m  3; 2; 1
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho phương trình m sin 2 x  2 sin x cos x  3m cos2 x  1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
m để phương trình có nghiệm.
 4
a) m  0;  .
 3

 4
b) m   \ 0;  .
 3

 4
c) m  0;  .
 3

 4
d) m   0;  .
 3

Lời giải:
Phương trình  m.

1  cos 2 x
1  cos 2 x
 sin 2 x  3m.
 1  sin 2 x  m cos 2 x  1  2 m
2
2

4
Phương trình có nghiệm  1  m 2  1  4 m  4 m 2  3m 2  4 m  0  0  m  .
3

Chọn C.

Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác có chứa tham số

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Chuyên đề lượng giác – Trần Văn Hạo

HÀ NAM 8-2014  GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH  BÍ QUYEÁT  LÖÔÏNG   GIAÙC  THAÏC SÓ. TRAÀN MAÏNH HAÂN  - CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC - CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC - CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI.ThS.   Trần Mạnh Hân   (0974514498)   FB:   thayHanSP1  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam   1  I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN    2   2 2   2 2   2 sin   1   cos sin   cos   1   cos   1   sin  x   x  x   x   x   x                                 2   2 2   2 1   1 1   tan   tan   1 cos   cos  x   x x   x                   2   2 2   2 1   1 1   cot   cot   1 sin   sin  x   x x   x                   1  tan   .cot   1   cot   tan  x   x   x   x            4   4   2   2 6   6   2   2 sin   cos   1   2 sin   cos   ; sin   cos   1   3 sin   cos  x   x   x   x  x   x   x   x                                3   3 3   3 sin   cos   (sin   cos   )(1   sin   cos   ) sin   cos   (sin   cos   )(1   sin   cos   )  x   x   x   x   x   x  x   x   x   x   x   x                                    II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  Góc I   Góc II   Góc III   Góc IV  sin   x              cos   x              tan   x              cot x              III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT     Hai cung đối nhau  cos(   )   cos x   x       sin(   )   sin x   x      tan(   )   tan x   x       cot(   )   cot x   x         Hai cung bù nhau  sin(   )   sin x   x          cos(   )   cos x   x         tan(   )   tan x   x          cot(   )   cot x   x            Hai cung phụ nhau  sin(   )   cos  2   x   x           cos(   )   sin  2   x   x          tan(   )   cot  2   x   x           cot(   )   tan  2   x   x             Hai cung hơn nhau     sin(   )   sin x   x          cos(   )   cos x   x         tan(   )   tan x   x          cot(   )   cot x   x            Hai cung hơn nhau   2    CÔNG TH   

Phương pháp giải phương trình lượng giác – Trần Mạnh Hân

Tuy  n t  p v    Lượng giác có lờ i gi  i chi ti    Lưu hành nộ i b  !  1  Ch    biên: Cao Văn Tú   Email:   caotua5lg3@gmail.com  TUY  N T  P 2 00 BÀI TẬ P   LƯỢNG GIÁC  CÓ LỜ I GI  I CHI TI   -   Tài liệu đượ c so  n theo nhu c  u c  n h  c sinh kh  c bi  i 12).  -   Biên soạ n theo c    thi tuy  i h  c      Cao đẳ ng c  a B    GD&ĐT.  -   Tài   li  u do t  p th    tác giả   biên soạ n:  1.   Cao Văn Tú –   CN.Mảng Toán –   Khoa CNTT      Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên)  2.   Cô Trần Thị Ngọc Loan –   CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).  3.   Thầy Vũ Khắc Mạnh –   CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).  4.   Nguyễn Thị Kiều Trang –   SV   Khoa Toán –   Trường ĐHSP Thái Nguyên.  5.   Nguyễn Trường Giang –   Khoa CNTT      Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.  6.   Lý Thị Thanh Nga –   SVNC      Khoa Toán –   Trường ĐH SP Thái Nguyên.  7.   Ngô Thị Lý –   Khoa CNTT      Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.  -   Tài liệu được lưu hành nộ i b    - N ghiêm cấm sao chép dướ i m  c.  -   N  c s        u   m n  i quy c   -   Tài liệu đã đượ c b    sung và chỉnh lý lầ n th    2.  Tuy nhóm Biên soạn đã cố   g  ng h  t s    th    tránh khỏ i s   sai xót nhất đị nh. R    ph  n h  i nh  ng ch    sai xót về    a ch    email: caotua5lg3@gmail.com   !  Xin chân thành cám ơn!!!  Chúc các bạ n h  c t  t t  t!!!  Thái Nguyên, tháng   07   năm 2014  Trư  ng nhóm Biên so  n  Cao Văn TúTuy  n t  p v    Lượng giác có lờ i gi  i chi ti    Lưu hành nộ i b  !  2  Ch    biên: Cao Văn Tú   Email:   caotua5lg3@gmail.com  Gi  i 2   2  sin   sin2   2cos   2 x   x   x          sinx ( 2 cosx      sinx ) = 0 sin   0 tan   2   arctan 2  x   x   k x   x   k                                  Bài 2:   Gi  i phương trình   : cos2   3sin   2   0 x   x         Gi  i 2   2  1   2sin   3sin   2   0   2sin   3sin   1   0 x   x   x   x                       2 2 sin   1 2   , 1   6 sin   2   5   2 6  x   k x x   k   k x x   k                                                               Bài 3 :   Gi  i phương trình   : 3sin   cos   2 x   x      Gi  i 3sin   cos   2 x   x     3   1   2 sin   cos 2   2   2  x   x        2 sin   cos   cos   sin 6   6   2  x   x           sin(   )   sin 6   4  x              2   2 6   4   12   , 3   7 2   2 6   4   12  x   k   x   k k x   k   x   k                                                                     Bài 4:   Gi  i phương trình   : 3sin   cos   2 x   x      Gi  i  Bài 1:   Gi  i phương trình   : 2   2  sin   sin2   2cos   2 x   x   x       

200 bài toán phương trình lượng giác – Cao Văn Tú

      HUỲNH ĐỨC KHÁNH  Phương trình LƯỢNG GIÁC  QUY NHƠN - 2012Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học   Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh  Mục lục  Phần 1   :   Các công thức cơ bản   :   trang 2  Phần 2   :   Các công thức liên hệ   :   trang 3      4  Phần 3   :   5 Dạng phương trình lượng giác cơ bản   :   trang 5      9  Phần 4   :   Một vài thủ thuật   :   trang 10      12  Phần 5   :         2012   :   trang 13      27  Phần 6   :   100 Đề thi thử trên toàn quốc   :   trang 28      53  Huỳnh Đức Khánh - duckhanh0205@gmail.com - 0975.120.189  1

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học – Huỳnh Đức Khánh

Th    Nguy   15 – Phó      -      ho    Tel : 0905.558.918  Ph   Bài 1 : Ch   Ví d   sin x   sin   x   cos x  P   tan   x            4   4  2 2   1  Nh    sin x   sin   x   cos x  tan   x  4   4  2 2   1          Calc:   x   P   cos   cos x  1 60   120   2 2                Ví d    cos x   cos x   sin x   sin   x  P   cosx   sin x            3   3  3   3  Nh    cos x   cos x   sin x   sin   x  cosx   sin x  3   3  3   3         Calc:   x   P   Calc   x   P 60   3;   :   15   3...                 V   Ví d      y   sinx       1 2   3   là A.   D   R\   k   ; k   z                                          2 3   B.   D   R\   k   ; k   z                                          2 6  C.   D   R\   k   ,   k   ; k   z                                                   5 2   2 6   6   D.   D   R\   k   ,   k   ; k   z                                                   2 2   2 3   3  Nh     f   x   sin x  1 2   3       Start : 0 ; End 180 ; Step 15 ta có b   x       f   x 0   - 0.577 15   - 0.822 30   - 1.366 ...........................   ........................ 60   ERR0R 120   ERR0R V   Ví d      y   x   cos x 4 sin   2       có bao nhiêu c        0; 2 Th    Nguy   15 – Phó      -      ho    Tel : 0905.558.918  Có   y   cosx   x '   4   2sin 2     Nh        f   x   x   x Start   End   Step  4cos   2sin2 : 0;   : 180 ;   : 15        và       f   x   x   x Start   End   Step  4cos   2sin2 : 180;   : 360 ;   : 15       Th    x   x 90   270          nên hàm s   Ví d     1.   2 cos 2   4 sin y   x   x       trên đoạ n   0;   2                       Có   y'   sin   x   cosx     2   2   2   4  Nh        f   x   sin   x   cosx     2   2   2   4   Start : 0 ; End :90 ; Step 15 ta có  x       f   x 0   4 15   2.4494 30   1.0146 45   0 60   -0.443 75   -0.378 90   0 V     x   ; x            4   2  s     l   Ví d   Nh    f    x         2 cos 2 x      4 sin   x   Calc : x = 0     f    0       2   ;Calc : x      45      f    45       2   2   ;Calc : x      90      f    x       4      2  Chú ý : Có th    f    x         2 cos 2 x      4 sin   x     

Thủ thuật giải trắc nghiệm lượng giác bằng máy tính Casio – Nguyễn Tiến Chinh

TÀI LI  U H  C T  P CH  T L  NG CAO      2017   BÀI GI  NG: CHUYÊN       HÀM S    - PT L  NG GIÁC  ADMIN TR  N   VĂN TÀI   & TH  Y CÔ THÀNH VIÊN   TOÁN H  C B  C  TRUNG  NAM   1 |   THBTN  1. Phöông trình löôïng giaùc ñöa veà baäc hai vaø baäc cao cuøng 1 haøm löôïng giaùc  Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn: Dạng       2  sin   sin   0 a   X   b   X   c        sin t   X  1   1 t     2  cos   cos   0 a   X   b   X   c        cos t   X  1   1 t     2  tan   tan   0 a   X   b   X   c        tan t   X  2  X   k          2  cot   cot   0 a   X   b   X   c        cot t   X  X   k     Nếu đặt 2   2  sin   , cos t   X   X    hoặc sin   ,   cos t   X   X    thì điều kiện là 0   1 t       .  Ví d    1 . Giải phương trình: 2  4cos   4sin   1   0. x   x         Gi  i :     2   2  pt   4 1   sin   sin   1   0   4sin   sin   3   0 x   x   x   x                          sin   1 3 sin   4  x x              Với sin   1   2 , 2  x   x   k   k                    Với 3 arcsin   2 4 3 sin   , 4   3 arcsin   2 4  x   k x   k x   k                                                              Ví d    2 . Giải phương trình: cos 2   3cos   2   0. x   x         Gi  i : 2  2 cos   1 pt   2cos   3cos   1   0   , 1   2 cos   3 2  x   k x x   x   k x   k x                                                  Ví d    3 . Giải phương trình: 3cos 2   7sin   2   0. x   x         Gi  i :  CHUYÊN Đ    1:   PHƯƠNG TRÌNH LƯ  NG GIÁCTÀI LI  U H  C T  P CH  T L  NG CAO      2017   BÀI GI  NG: CHUYÊN       HÀM S    - PT L  NG GIÁC  2 |   THBTN      CA   BIÊN SO  N TH  Y TÀI + TH  Y CÔ BTN     2   2  pt   3 1   2sin   7sin   2   0   6sin   7sin   5   0 x   x   x   x                          5 sin   3 1 sin   2  x x                  Với 5 sin   3  x      thì pt vô nghiệm vì sin   [   1;1] x        Với 2 1   6 sin   , 7 2   2 6  x   k x   k x   k                                    Ví d    4 . Giải phương trình: 4   2  4sin   5cos   4   0. x   x         Gi  i :     4   2   4   2  pt   4sin   5 1   sin   4   0   4sin   5sin   1   0 x   x   x   x                          2 2  sin   1 1 sin   4  x x                 Với 2   2  sin   1   cos   0   cos   0   , 2  x   x   x   x   k   k                                   Với 2   1   1   cos2   1   1 sin   cos2   , 4   2   4   2   6  x x   x   x   k   k                                 Ví d    5 . Giải phương trình: 2  cos 4   12sin   1   0. x   x         Gi  i :           2   2  pt   2cos 2   1   6 1   cos 2   1   0   2cos 2   6cos 2   4   0 x   x   x   x                             cos 2   1 cos 2   2  x x             Với cos2   1   , x   x   k   k                 Với cos2   2 x      thì phương trình vô nghiệm  Ví d    6 . Giải phương trình: 2 1   2   5 tan   0. 2   cos   2  x   x             Gi  i :  cos   0 x    2  1   1   2   5 pt   1   0 2   cos   cos   2 x   x                           2  1   1   1 .   2.   2   0 2 cos   cos x   x            1   1 2   cos   2   , cos   2   3  x   x   k   k x                           

Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Trần Văn Tài

1  MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ   ...................................................................................................... 2  B. NỘI DUNG   ........................................................................................................... 4  I. Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức cơ bản  ................................... 4  II. Phương trình bậc 2 đối với   sin   , cos x   x   .   ...................................................... 11     Phương trình chứa sin   .cos x   x   ................................................................ 11     Phương trình không chứa sin   .cos x   x   .................................................... 15  III. Nhẩm nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung   .................................. 17  IV. Sử dụng công thức đặc biệt   ......................................................................... 19     Dạng 1:      cos   cos A   B    hoặc   sin   sin A   B    ...... 19     Dạng 2:     V. Thay thế hằng số bằng đẳng thức lượng giác .............................................. 25  C. KẾT LUẬN   ........................................................................................................ 28  D. TÀI LIỆU THAM KHẢO   ................................................................................ 292  A. ĐẶT VẤN ĐỀ  Phương trình lượng giác là vấn đề quan trọng và quen thuộc trong chương trình toán học bậc THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh đại học. Việc giải thành thạo phương trình lượng giác đã trở thành nhiệm vụ và cũng là mong muốn của mọi học sinh. Tuy nhiên, sự phong phú của công thức lượng giác đã gây khó khăn cho học sinh trong việc định hướng lời giải. Nếu định hướng không tốt sẽ dẫn đến biến đổi vòng vo, không giải được hoặc lời giải sẽ dài dòng, không đẹp. Cản trở này phần nào làm nản chí các em học sinh. Một số em đã sợ học và xác định bỏ phần phương trình lượng giác. Với mong muốn giúp học sinh khắc phục khó khăn này, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm    M  t s     nh h  ng gi  i ph  ng trình l  ng giác” .   Bài viết đưa ra một số định hướng biến đổi phương trình dựa trên những dấu hiệu  thời gian, tự tin hơn trước các phương trình lượng giác. Nội dung sáng kiến gồm các nội dung sau:  I. Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức cơ bản II. Phương trình bậc 2 đối với sin   , cos x   x   . III. Nhẩm nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung IV. Sử dụng công thức đặc biệt V. Thay thế hằng số bằng đẳng thức lượng giác  Mỗi nội dung đều được trình bày rất công phu. Dấu hiệu của mỗi phương pháp được đưa ra một cách đầy đủ và cụ thể. Các ví dụ cho mỗi nội dung phong phú, đa dạng, có phân tích định hướng thể hiện rõ ràng phương pháp đang áp dụng và có lời giải chi tiết.

Một số định hướng giải phương trình lượng giác – Phan Trọng Vĩ

N GUYỄN   H     IỆP      LƯỢNG GIÁC  x  y  0   30   60   90   120   150   180   210   240   270    300   330   360     6    4    3    2  2   3  3   4  5   6    7   6  5   4  4   3   3   2  5   3  7   4  11   6  2   (   p 3 2   ,   1 2  )  (   p 2 2   ,  p 2 2  )  (   1 2   ,  p 3 2  )  (    p 3 2   ,   1 2  )  (    p 2 2   ,  p 2 2  )  (     1 2   ,  p 3 2  )  (    p 3 2   ,      1 2  )  (    p 2 2   ,     p 2 2  )  (     1 2   ,     p 3 2  )  (   p 3 2   ,      1 2  )  (   p 2 2   ,     p 2 2  )  (   1 2   ,     p 3 2  )  (  1 ,   0)   (1 ,   0)  (0 ,    1)  (0 ,   1)  2018Tên ............................................... Chữ kí (ˆ .ˆ )   Tên ...............................................  B  a  u v  01 ds  A TEX–   2018 03  LƯỢNG GIÁC  Copyright      2018 by Nguyễn Hồng Điệp

Chuyên đề lượng giác ôn thi THPT Quốc gia môn Toán – Nguyễn Hồng Điệp

1 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679  MỤC LỤC  CHƯƠNG 1   Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác   5  1   Các hàm số lượng giác   5 A   Một số dạng toán   5 B   Bài tập tự luận   10 C   Bài tập trắc nghiệm   11 2   Phương trình lượng giác cơ bản   17 A   Tóm tắt lí thuyết   17 B   Một số dạng toán.   18 C   Bài tập ôn luyện   20 D   Bài tập trắc nghiệm   20 3   Phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác   26 A   Bài tập tự luận   26 B   Bài tập trắc nghiệm   26 4   Phương trình bậc nhất đối với   sin   x   và   cos   x   30 A   Phương pháp giải   30 B   Bài tập tự luận   31 C   Bài tập trắc nghiệm   32 D   Phương trình dạng   a   sin   x   +   b   cos   x   =   c   sin   u   +   d   cos   u , với   a 2   +   b 2   =  c 2   +   d 2   35 5   Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với   sin   x   và   cos   x   36 A   Phương pháp giải toán   36 B   Bài tập tự luận   36 C   Bài tập trắc nghiệm   37  MỤC LỤC2 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679  6   Sử dụng các công thức biến đổi để giải phương trình lượng giác   39 A   Công thức biến đổi tổng thành tích   39 B   Công thức biến đổi tích thành tổng   39 C   Công thức hạ bậc, nâng cung   40 D   Bài tập trắc nghiệm   40 7   Phương trình đưa về dạng tích   41 A   Bài tập tự luận   41 B   Bài tập trắc nghiệm   42 8   Một số phép đặt ẩn phụ thông dụng   44 A   Phép đặt ẩn phụ   u   =   sin   x   +   cos   x ,   với điều kiện   | u | ≤ √ 2.   44 B   Phép đặt ẩn phụ   u   =   sin   x   cos   x   =   1 2 sin 2 x   (khi đó   | u | ≤   1 2 )   45 C   Phép đặt ẩn phụ   t   =   tan   x   +   cot   x   46 D   Phép đặt ẩn phụ   t   =   tan   x  2   46 E   Bài tập trắc nghiệm   47 9   Phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương pháp kết hợp nghiệm   48 A   Bài tập tự luận   48 B   Bài tập trắc nghiệm   50 10   Một số bài toán sử dụng phương pháp đánh giá   52 A   Bài tập tự luận   52 B   Bài tập trắc nghiệm   52 11   Sử dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số   52 A   Dấu hiệu để lượng giác hóa bài toán   52 B   Bài tập tự luận   53 C   Bài tập trắc nghiệm   53  MỤC LỤC

Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Nguyễn Tài Chung

Hàm   s    và phương  trình lư  ng giácTuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác   Website.   tuduymo.com  TUYỂN TẬP 198 CÂU VẬN DỤNG CAO LƯỢNG GIÁC  L A TEX   bởi Tư Duy Mở  Câu 1.   Tìm tất cả các giá trị của tham số   m      sin 4   x   +   cos 4   x      cos 2 x   +   1 4 sin 2   2 x   +   m   =   0   có nghiệm.  A   m   <    2 .   B    2   6   m   6   0 .   C    2   <   m   <   0 .   D   m   >   0 .  Lời giải.  Ta có   sin 4   x   +   cos 4   x   =   1      2 sin 2   x   cos 2   x   =   1      1 2 sin 2   2 x .    t   =   cos 2 x ,   | t |   6   1   phương trình đã cho thành   1      1 2  ( 1      t 2 )      t   +   1 4  ( 1      t 2 )   +   m   =   0 . Hay   f   ( t ) =    t 2   +   4 t      3   =   4 m   với    1   6   t   6   1 . Nhận thấy hàm số   f   ( t )   luôn đồng biến trên   [  1; 1 ]   nên phương trình đã cho có nghiệm khi   f   (  1 )   6   4 m   6   f   ( 1 )     2   6   m   6   0 .  Chọn đáp án   B     Câu 2.   Tìm giá trị nhỏ nhất   M   của hàm số   y   =   3 sin   x      4 cos   x   +   3 .  A   M   =   2 .   B   M   =   6 .   C   M   =    10 .   D   M   =    2 .  Lời giải.  Ta có   y   =   3 sin   x      4 cos   x   +   3   =   5  (   3 5 sin   x      4 5 cos   x  )  +   3   =   5 sin ( x       ) +   3 , trong đó      thoả   cos      =   3 5   và   sin      =   4 5   . Từ    1   6   sin ( x       )   6   1   ta được    2   6   y   6   8 . Tồn tại   x      y   =    2   nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là    2 .  Chọn đáp án   D     Câu 3.   Tìm tập xác định   D   của hàm số   y   =   sin   x  cot 2 x   .  A   D   =   R   \ { k  ,   k      Z } .   B   D   =   R   \  {   k   4   ,   k      Z  }  .  C   D   =   R   \  {   k   2   ,   k      Z  }  .   D   D   =   R   \  {     2   +   k  ,   k      Z  }  .  Lời giải.    {   cot 2 x   6   =   0 sin 2 x   6   =   0     {   cos 2 x   6   =   0 sin 2 x   6   =   0      sin 2 x   cos 2 x   6   =   0      sin 4 x   6   =   0      x   6   =   k   4   .  Chọn đáp án   B     Câu 4.   Gọi   m n   là giá trị lớn nhất của   a       a 3 ( x      1 ) 2   +   a  ( x      1 ) 2   6   4   a 3     sin    x  2       có ít nhất một nghiệm, trong đó   m ,   n   là các số nguyên dương và   m n   là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức  P   =   22 m   +   n .  A   P   =   46 .   B   P   =   35 .   C   P   =   38 .   D   P   =   24 .  Lời giải.     x   6   =   1 .  L A TEX   bởi Tư Duy Mở   1   Group.   Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ

Tuyển tập 198 câu VDC hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Trường THPT MARIE CURIE  1      GIẢI TÍCH  Chuyên đề   1  PHƯƠNG TRÌNH   LƯỢNG GIÁC  XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC  CỦA MỘT   GÓC HAY CUNG L       1. Đường tròn lượng giác   Là đường tròn có   tâm O   trong mặt phẳng Oxy   và có bán kí nh 1 R      .        1; 0 A   là điểm gốc của đường tròn lượng giác.   Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ.   Chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ.  2. Giá trị lượng giác  Cho cung AM      sin   OK         Tung độ của điểm M   .     Cos = cos   OH         Hoành độ của điểm M   .   sin tan   cos   AT             (Kéo dài OM   cắt tiếp tuyến  t At   tại T   )   S  cos cot   sin   B             (Kéo dài OM   cắt tiếp tuyến  s Bs   tại S   , với      0;1 B   )Chuyên     2  3.   Hàm số lượng giác  a) Hàm số sin   x   với duy nhất điểm M   trên đường tròn lượng giác mà số đo cung   bằng x  . Điểm M   có tung độ hoàn toàn xác    sin   x sinx  B'  B  A'   A  x  O  M    nh ngh  a   T  p xác đ  nh   T  p giá tr        th   sin : sin x   x  D       x         1;1 T     1   sin   1 x  b) Hàm số cos in  Quy tắc đặt mỗi số thực x   với một số thực cos   x      gọi là hàm số cosin    nh ngh  a   T  p xác đ  nh   T  p giá tr        th   cos : cos x   x  D       x         1;1 T     1   sin   1 x y  x  -      -1    2  -    2  1  O  c) Hàm số tang  Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức      sin   , cos   0 cos  x y   x x  .  Ký hi  u:    tan y   x

Các dạng bài tập phương trình lượng giác

TUY  N T  P L  NG GIÁC  (    T)  BIÊN SO  N: L  U HUY TH  NG  Toàn b    tài li  u c  a th  y      trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com  HÀ N  I, 4/2014  H    VÀ TÊN: ........................................................................... L  P   :............................................................................ TR  NG   :...........................................................................GV. L  u Huy Th  ng   0968.393.899  B    H  C VÔ B    - CHUYÊN C  N S     N B  N   Page 1  TUYỂN TẬP LƯỢNG GIÁC  Toàn b    tài li  u luy  n thi    i h  c môn toán c  a th  y L  u Huy Th  ng:  http://www.Luuhuythuong.blogspot.com  HT 1.Giải các phương trình:  1)   2  2 cos   3 cos   0 x   x +   =   2)   2   2  sin   sin 2   2 cos   2 x   x   x +   +   =   3)   2   2  3 sin   sin 2   cos   3 x   x   x +   +   =  4)   2  2 sin   sin   1   0 x   x       =   5)   cos 2   3 sin   2   0 x   x +      =   6)   2 cos 2   3 cos   1   0 x   x    +   =  Bài giải  1)   2  2 cos   3 cos   0 x   x +   =  cos   0 2   , 3   5 cos   2 2   6  x   x   k k x   x   k               =      =   +                  = −    = ±   +          2)   2   2  sin   sin 2   2 cos   2 x   x   x +   +   =     sin   (2 cos   sin   )   0 x   x   x    =   sin   0 tan   2   arctan 2  x   x   k  x   x   k          =   =             =   =   +          3)   2   2  3 sin   sin 2   cos   3 x   x   x +   +   =  2  2 sin   cos   2 cos   0   2 cos   (sin   cos   )   0 x   x   x   x   x   x       =         =  2 cos   0   2 tan   1  4  x   k x x   x   k                       =   + =             =       =   +           4)   2  2 sin   sin   1   0 x   x       =  2 2 sin   1 2   , 1   6 sin   2   7   2 6  x   k x x   k   k x x   k                   =   +     =               = −   +        = −              =   +      5)   cos 2   3 sin   2   0 x   x +      =  2   2  1   2 sin   3 sin   2   0   2 sin   3 sin   1   0 x   x   x   x       +      =         +   =  2 2 sin   1 2   , 1   6 sin   2   5   2 6  x   k x x   k   k x x   k                   =   +     =               =   +        =              =   +    

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề lượng giác – Lưu Huy Thưởng

TRAÀN SÓ TUØNG  ----      &      ----  TÀI LI  U ÔN THI    I H  C – CAO    NG  Naêm 2011Tr  n S    Tùng   Ph  ng trình l  ng giác  Trang   1  I. H    TH  C C    B  N 1.    nh ngh  a các giá tr    l  ng giác:  OP OQ AT BT  cos  sin  tan  '   cot  a  a  a  a  = = = =  Nh  n xét :     ,   1   cos   1;   1   sin   1  a   a a "   -         -           tan a   xác    nh khi   k   k   Z , 2  p a   p    +        cot a   xác    nh khi   k   k   Z ,  a   p      2. D  u c  a các giá tr    l  ng giác: Cung ph  n t   Giá tr    l  ng giác I   II   II   IV  sin  a   +   +        cos  a   +         +  tan  a   +      +     cot  a   +      +     3. H    th  c c    b  n:  sin 2  a   + cos 2  a   = 1;   tan a .cot a   = 1  2   2 2   2  1   1  1   tan   ; 1   cot  cos   sin  a a  a a  +   =   +   =  4. Cung liên k  t: Cung    i nhau   Cung bù nhau   Cung ph    nhau  cos(   )   cos  a   a -   =   sin(   )   sin  p   a   a -   =   sin   cos  2  p   a   a      -   =     ̃     ̄  sin(   )   sin  a   a -   = -   cos(   )   cos  p   a   a -   = -   cos   sin  2  p   a   a      -   =     ̃     ̄  tan(   )   tan  a   a -   = -   tan(   )   tan  p   a   a -   = -   tan   cot  2  p   a   a      -   =     ̃     ̄  cot(   )   cot  a   a -   = -   cot(   )   cot  p   a   a -   = -   cot   tan  2  p   a   a      -   =     ̃     ̄  CH  NG 0    P CÔNG TH  C L  NG GIÁC –  H  M S    L   NG GIÁC  cosin  O  cotang  sin  tang  p   A  M  Q  B   T'  a  T

Phân dạng phương trình lượng giác – Trần Sĩ Tùng

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc     70     Chuyeân ñeà   2 :   LÖÔÏNG GIAÙC     Vaán ñeà 1:   PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC  A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI  1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn  cosx = cos       x =       + k2   sinx = sin     x   k2 x   k2                t an x = t an       x =      + k   co tx   =   cot       x =      + k    (vôùi k      )  2.   Phöông trình baäc hai ñoái   vôùi moät haøm soá löôïng giaùc  asin 2 x + bsinx + c = 0. Ñaët t = sinx,      t       1  acos 2 x + bcosx + c = 0. Ñaët t = cosx,      t       1  at an 2 x + bt an x + c = 0. Ñaët   t = t an x  acot 2 x + bcotx + c = 0. Ñaët t = cotx  3.   Phöông trình   baäc nhaát ñoái vôùi sinx, cosx  asinx + bcosx = c (*)   2   + b 2      c 2     Caùch 1:   Chia hai veá cho 2   2  a   b       0  (*)    2   2  a a   b    sinx + 2   2  b a   b    cosx = 2   2  c a   b   Do 2 2   2  a a   b                 + 2 2   2  b a   b                 = 1  Neân coù theå ñaët 2   2  a a   b    = cos  , 2   2  b a   b    = sin   Khi ñoù:  (*)      sinxcos    + si n  cosx = 2   2  c a   b       sin(x +    ) = 2   2  c a   b      Caùch 2:   Chia hai veá cho a (giaû söû a      0)  (*)      sinx + b a   cosx = c a   b a   = tan  .   Khi ñoù: (*)      sinx + sin cos      cosx = c aTT Luy  i H  N  71     sinx cos    + sin    cosx = c a   cos       sin(x +    ) = c a   cos      Caùch 3:        Xeùt x = (2k + 1)    vôùi (k      )   coù laø nghieäm   0     Xeùt x      (2k + 1)    vôùi (k      )   an x 2  Khi ñoù: (*)      a 2  2t 1   t    +   b 2 2  1   t 1   t      = c      ( b   + c)t 2      2 a t + c      b   = 0  4. Ph  :   a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0   2   cos x   4                       t     2  Khi ñoù:   t 2   = 1 + 2sinxcosx      sinxcosx = 2  t   1 2    Thay vaøo phöông trình ta ñöôïc phöông trình ñaïi soá theo t.     Chuù yù:   a(sinx      cosx) + bsinxcosx + c = 0        cosx   (vôùi t   2    )  5. Phöông trình ñaúng caáp baäc 2 ñoái vôùi sinx, cosx  asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x =   0     Xeùt cosx = 0      x = 2     + k    (k      )   coù laø nghieäm khoâng ?     Xeùt cosx      0. Chia 2 veá cho cos 2 x ta thu ñöôïc phöông trình baäc 2 theo t an x.     Chuù yù:   Neáu laø phöông trình ñaúng caáp baäc k ñoái v    xeùt cosx = 0  vaø xeùt cosx      0   chia 2 veá cuûa phöông trình cho cos k x vaø ta thu ñöôïc moät  phöông trình baäc k theo t an x.  B. ÑEÀ THI  Baøi 1:    Giaûi phöông trình: 2  1   sin 2x   cos2x   2 sin x.sin 2x 1   cot   x            .  Giaûi        0. Khi ñoù: (1)                2  1   sin 2x   cos2x   2 sin x. 2sin x cosx 1 sin   x

Phương pháp giải phương trình lượng giác – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

CH      17 2   BÀI TҰP TRҲC NGHIỆM PHÂN THEO DҤNG  1. Tìm   tұp   xác      hàm   sӕ   l    giác 2. Tìm GTLN      GTNN ( Tұp   giá   trị )   của   hàm   sӕ   l    giác 3. Xét tính   chẵn lẻ của   hàm   sӕ   l    giác 4. Xác      thiên   của   hàm   sӕ   l    giác  5. Các   dҥng   toán   về tuần   hoàn và chu   kỳ  6. Ph    trình l    giác c   7.   Phѭѫ ng trình l    giác th   8. Ph    trình l    giác nâng cao  Biên   soҥn   và s  u   tầm : Võ   Hữu Quӕc –   0974.26.29.21   Ch       HÀM S    LѬỢNG GIÁC VÀ PHѬѪNG TRÌNH LѬỢ NG GIÁC  Gv: Võ H  u Qu  c      phone: 0974.26.29.21   Ngu  m internet và biên so  n   1  TRҲC NGHIӊM LѬỢNG GIÁC 11  Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số lượng giác  Câu 1 .   Tập xác định của   hàm số   x y   cot   A.   R\               Z k k   , 4      B.   R\               Z k k   , 2      C . R\              Z k k   , 2     D.   R\     Z k k    ,    Câu 2 .   Tập xác định của   hàm số   y=   x x   2 2   cos sin 3     .  A . R\               Z k k   , 4      B . R\               Z k k   , 2      C . R \               Z k k   , 2 4 3      D . R\               Z k k   , 2 4     Câu 3 .   Tập xác định của   hàm số   y=   tan   x   :  A.   R   B.   R \               Z k k   , 2      C.   R \     Z k k    ,     D.   R\              Z k k   , 2    Câu 4 .   Tập xác định của   hàm số   tan cos   1  x y   x        là:  A.   x   2 k      B.   x   2 3   k            C.   x   2 2  k x   k                       D.  x   2 3  k x   k                               Câu 5 . Tập xác định của   hàm số   cot cos  x y   x     là:  A.   x   2   k            B.   x   2 k      C.   x   k      D.   x   2  k      Câu 6 . Tập xác định của   hàm số   1 sin   cos  y   x   x        là  A.   x   k      B.   2 x   k      C.   2  x   k            D.   4  x   k           Câu 7 . Tập xác định của   hàm số   cos y   x    là  A.   0 x      B.   0 x      C.   R   D.   0 x     Câu 8.   Tập xác định của   1   sin cos  x y   x     A.   2 2  x   k            B.   2  x   k            C.   2 2  x   k            D.   x   k     Câu 9 . Tập xác định của   hàm số   2sin   1 1   cos  x y   x         là  A.   2 x   k      B.   x   k      C.   2  x   k            D.   2 2  x   k           Câu 10 . Tập xác định của   hàm số   tan   2x   3  y                     là  A.   6   2  k x             B.   5 12  x   k            C.   2  x   k            D.   5 12   2  x   k            Câu 11 . Tập xác định của   hàm số   tan 2x y      là

172 bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Võ Hữu Quốc

Chương I: Hàm số   lượng giác và phương trình lượ ng giác  Ths. Tr    Page 1  M  C L  C  CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   .....2  BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  ........................................................................................2  A. C   ....................................................................................................2  B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP  ..............................................................................7  Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số   ..................................................................... 7  Dạng 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số  ...................................................................... 12  Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác  ....... 17  Dạng 4. Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó  .................. 23  Dạng 5. Vẽ đồ thị   hàm số lượng giác  .................................................................... 25  C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   .....................................................................................28  BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN .................................................. 48  A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT   .............................................................................................. 48  B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP  ......................................................................... 50  C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  .................................................................................. 58  BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶ P   ..................................... 67  A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬ P ............................. 67  Dạng 1. Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác   ................................... 67  Dạng 2. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx   ................................................ 70  Dạng 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx   .......................... 79  Dạng 4. Phương trình đối xứng   ............................................................................. 84  B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   .................................................................................. 90     ................................................................................................... 116Chương I: Hàm số   lượng giác và phương trình lượ ng giác  Ths. Tr    Page 2  CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT  1. Hàm số  y   sin x     Có tập xác định D      ;     Là hàm số lẻ;     Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2     ,     sin   2   sin x   k   x        ;     Do hàm số sin y   x    là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2     nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn có độ dài 2     , chẳng hạn trên đoạn ;             .  Khi vẽ đồ thị của hàm số  y   sin x   trên đoạn ;             ta nên để ý rằng : Hàm số sin y   x    là hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số sin y   x   trên đoạn 0;           Bảng biến thiên:   sin y   x    trên đoạn 0;           Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số  y   sin x   trên đoạn ;            Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những  2 ,4 ,6 ,...           th   sin y   x    . Đồ thị đó được gọi là một     Hàm   số sin y   x       biến   trên   khoảng ; 2   2                    và nghịch biến trên khoảng 3 ; 2   2                    . 8  6  4  2  2  4  6  8  5    4    3    2          2    3    4    5 

Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Trần Đình Cư

L  NG GIÁC M  T S    CHUYÊN      VÀ    NG D  NG T  P 2 :   PH  NG TRÌNH, H    PH  NG TRÌNH,  B  T PH  NG TRÌNH L  NG GIÁC  VÕ ANH KHOA      HO VÕ ANH KHOA      HOÀNG BÁ MINH  TP. H    CHÍ MINH  L  NG GIÁC M  T S    CHUYÊN      VÀ    NG D  NG T  P 2   : PH  NG TRÌNH, H    PH  NG TRÌNH,  B  T   PH  NG TRÌNH L  NG GIÁC TOANMATH.com

Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình lượng giác – Võ Anh Khoa, Hoàng Bá Minh

ST& BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Lượ ng giác –     File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpayST& BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Lượ ng giác –     File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  HÀM S   1. Hàm s    sin  y   x     T  nh:    D   R    p giác tr  :   [   1;1]    , t  c là   1   sin   1        x   x   R     Hàm s     ng bi  n trên m  i kho  ng   (   2   ;   2   )  2   2                  k   k   , ngh  ch bi  n trên m  i kho  ng  3 (   2   ;   2   ) 2   2               k   k   .      sin  y   x là hàm s    l    nên đồ   th    hàm s    nh  n g  c t    O   làm tâm đố i x  ng.      sin  y   x là hàm s    tu  n hoàn v  i chu kì   2    T   .        th    hàm s    sin  y   x .  2. Hàm s    cos  y   x  theo véc tơ   (   ; 0)  2        v   .  3. Hàm s    tan  y   x     T  nh :   \   , 2                                D   k   k     T  p giá tr  :         l      Là hàm s    tu  n hoàn v  i chu kì    T     Hàm đồ ng bi  n trên m  i kho  ng   ; 2   2                                k   k  x y  2   -5   2 -3   2 -   2 5   2 3   2    2 -3   -2    -    3  2    O  1  x y  -5   2 -3   2 -   2 5   2 3   2    2 -3   -2    -    3  2    1  O     T  nh:   D      R     T  p giác tr  :   [    1;1]   , t  c là    1      cos   x      1    x      R     Hàm s    y      cos   x   ngh  ch bi  n trên m  i kho  ng   ( k   2     ;        k   2     )   , đồ ng bi  n trên m  i kho  ng  (         k   2     ;   k 2     )   .     Hàm s    y      cos   x   là hàm s    ch    th    hàm s    nh  n tr  c   Oy   làm tr  i x  ng.     Hàm s    y      cos   x   là hàm s    tu  n hoàn v  i chu kì   T      2     .        th    hàm s    y      cos   x   .     th    hàm s    y      cos   x   b  ng cách t  nh ti    th    hàm s    y      sin   x

Bài tập hàm số lượng giác và phương trình lượng giác có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

Quý th  y cô mu  n nh  n file word liên h    mail. anhdungtsc@gmail.com  1 |   P a g e - http://www.toanmath.com/   ST VÀ BIÊN SO  N : Võ Anh Dũng  C CH HU UY YÊ  N       HÀ  M S S   L     NG G G GI IÁ  C I. CÁC HÀM S    LƢỢ NG GIÁC  1. Đồ   th    hàm s    y   = sin x .  2. Đồ   th    hàm s    y   = cos x .  Ghi nh  :  Hàm s    y   = sin x   Hàm s    y   = cos x   T  p xác đ     .    T  p xác đ     .   T      T     Là hàm s      Là hàm s     Là hàm s        .    Là hàm s        .        2   ;   2 2   2  k   k                          và ngh   m   3 2 ;   2   ,   . 2   2  k   k   k                                       2 ;   2 k   k              và ngh         2 ;   2   ,   . k   k   k             Có đ    t đư     Có đ    t đư   3. Đồ   th    hàm s    y   = tan x .  4. Đồ   th    hàm s    y   = cot x .  Ghi nh  :Quý th  y cô mu  n nh  n file word liên h    mail. anhdungtsc@gmail.com  2 |   P a g e - http://www.toanmath.com/   ST VÀ BIÊN SO  N : Võ Anh Dũng  Hàm s    Hàm s    T  p xác đ  nh là    \ ; 2   k   k   Z                        .    T  p xác đ  nh là      ; k   k   Z        .   T  p giá tr     .    T  p giá tr     .   Là hàm s    l  .    Là hàm s    l  .   Là hàm s    tu  n hoàn v  i chu k     .    Là hàm s    tu  n hoàn v  i chu k     .     ng bi  n trên m  i   kho  ng ; 2   2  k   k                              , . k       Ngh  ch bi  n trên m  i kho  ng     ;   ,   . k   k   k                 th    nh  n m  i đư  ng (   ). 2  x   k   k               làm m  t đư  ng ti  m  c  n.       th    nh  n m  i đư  ng (   ). x   k   k          làm  m  t đư  ng ti  m c  n.  PHƢƠNG PHÁP GIẢ I TOÁN  D  ng 1: Tìm t  nh c  a hàm s   Phƣơng pháp:   sin y   u    xác đị nh      u xác đị nh.   cos y   u    xác đị nh      u xác đị nh.   tan y   u    xác đị nh    (   ). 2  u   k   k                cot y   u    xác đị nh    (   ). u   k   k            tìm t  nh c  a hàm s    ta c  n nh  :   ( ) y   f   x    xác đị nh    ( )   0 f   x      .   1 ( )  y   f   x     xác đị nh    ( )   0 f   x      .   1 ( )  y   f   x     xác đị nh    ( )   0 f   x      .  D  ng 2: Tìm giá tr    l  n nh  t và giá tr    nh    nh  t c  a hàm s    lượ ng giác  Phƣơng pháp: Cho hàm số   y = f(x) xác đị nh trên t  p D.     M = 0   0  ( )   , max   ( )   :   (   )   . D  f   x   M   x   D f   x   x   D   f   x   M                   m = 0   0  ( )   , min   ( )   :   (   )   . D  f   x   m   x   D f   x   x   D   f   x   m                Ghi nh  :   1   sin   1 x       ; 1   cos   1;   . x   x           2  0   sin   1 x       ; 2  0   cos   1;   . x   x          D  ng 3: Tìm chu k    c  a hàm s    lượ ng giác.  Phƣơng pháp:     Hàm s    y = f(x) xác đị nh trên t  p D tu  n hoàn n  u có s    T sao cho v  i m  i x   D    ta có: ,   ,   (   )   ( ). x   T   D x   T   D f x   T   f x                     T chu k      T dƣơng nhỏ   nh  t: (   )   ( ). f   x   T   f   x      Chú ý:     Hàm số   y =   f 1 (x)   có chu kỳ T 1   ; y =   f 2 (x)   có chu kỳ T 2.   Thì hàm số 1   2 ( )   ( )     y   f   x   f   x   có chu kỳ T 0   là  bội chung nhỏ nhất của T 1   và T 2 .

Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Võ Anh Dũng

Sưu tầm: Tô Quốc An – 0988323371 ‐ https://toanmath.com/   Page 1  I.   HÀM   S    L  NG   GIÁC  Bài   1   Tìm   t  p   xác    nh   c  a   hàm   s          1   sin 2 cos 3   1  x y   x  A.                         2 \   ,  3  D   k   k   B.                        \   ,  6  D   k   k  C.                        \   ,  3  D   k   k   D.                        \   ,  2  D   k   k  Bài   2.   Tìm   t  p   xác    nh   c  a   hàm   s          1   cos 3 1   sin 4  x y   x  A.                                 \   ,  4   2  D   k   k   B.                                  3 \   ,  8   2  D   k   k  C.                                 \   ,  8   2  D   k   k   D.                                 \   ,  6   2  D   k   k  Bài   3 .   Tìm   t  p   xác    nh   c  a   hàm   s         tan(2   ) 4  y   x  A.                               3 \   , 7   2  k D   k   B.                               3 \   , 8   2  k D   k  C.                               3 \   , 5   2  k D   k   D.                               3 \   , 4   2  k D   k  Bài   4.   Tìm   t  p   xác    nh   c  a   hàm   s    sau         2 1   cot 1   sin 3  x y   x  A.                                  2 \   ,   ;   , 3   6   3  n D   k   k n   B.                                2 \   ,   ;   , 6   3  n D   k   k n  C.                                2 \   ,   ;   , 6   5  n D   k   k n   D.                                2 \   ,   ;   , 5   3  n D   k   k n  Bài   5.   Tìm   t  p   xác    nh   c  a   hàm   s    sau        tan 2 3 sin 2   cos 2  x y   x   x  A.                                       \   ,   ;  4   2   12   2  D   k   k   k   B.                                       \   ,   ;  3   2   5   2  D   k   k   k  C.                                       \   ,   ;  4   2   3   2  D   k   k   k   D.                                       \   ,   ;  3   2   12   2  D   k   k   k  Bài   6.   Tìm   t  p   xác    nh   c  a   hàm   s    sau            tan(   ).cot(   ) 4   3  y   x   x  A.                                     \   ,   ;  4   3  D   k   k   k   B.                                      3 \   ,   ;  4   5  D   k   k   k  C.                                      3 \   ,   ;  4   3  D   k   k   k   D.                                      3 \   ,   ;  5   6  D   k   k   k  Bài   7.   Tìm   t  p   xác    nh   c  a   hàm   s    sau        tan(2   ) 3  y   x  A.                              \   , 3   2  D   k   k   B.                              \   , 4   2  D   k   k  C.                              \   , 12   2  D   k   k   D.                              \   , 8   2  D   k   k  Bài   8.   Tìm   t  p   xác    nh   c  a   hàm   s    sau      tan 3 .cot 5 y   x   xSưu tầm: Tô Quốc An – 0988323371 ‐ https://toanmath.com/   Page 2  A.                                 \   ,   ;   , 4   3   5  n D   k   k n   B.                                 \   ,   ;   , 5   3   5  n D   k   k n  C.                                 \   ,   ;   , 6   4   5  n D   k   k n   D.                                 \   ,   ;   , 6   3   5  n D   k   k n  Bài   9 .   Tìm   chu   kì   c    s    (n  u   có)   c  a   các   hàm   s    sau    ( )   sin f x   x  A.    0   2 T   B.    0  T   C.     0   2  T   D.     0   4  T  Bài   10 .   Tìm   chu   kì   c    s    (n  u   có)   c  a   các   hàm   s    sau    ( )   tan 2   , f x   x  A.    0   2 T   B.     0   2  T   C.    0  T   D.     0   4  T  Bài   11.   Tìm   chu   kì   c    s    (n  u   có)   c  a   hàm   s    sau       sin 2   sin y   x   x  A.      2 T   B.     0   2  T   C.    0  T   D.     0   4  T  Bài   12.   Tìm   chu   kì   c    s    (n  u   có)   c  a   hàm   s    sau      tan   .tan 3 y   x   x  A.     0   2  T   B.      2 T   C.     0   4  T   D.    T  Bài   13.   Tìm   chu   kì   c    s    (n  u   có)   c  a   hàm   s    sau       sin 3   2 cos 2 y   x   x  A.      2 T   B.     0   2  T   C.    0  T   D.     0   4  T  Bài   14.   Tìm   chu   kì   c    s    (n  u   có)   c  a   hàm   s    sau      sin y   x  A.   Hàm   s    không   tu  n   hoàn   B.     0   2  T  C.    0  T   D.     0   4  T  Bài   15   Tìm   t  p   giá   tr    l  n   nh  t,   giá   tr    nh    nh  t   c  a   hàm   s    sau       2 sin   3 y   x  A.    max   5 y   ,    min   1 y   B.    max   5 y   ,    min   2   5 y  C.    max   5 y   ,    min   2 y   D.    max   5 y   ,    min   3 y  Bài   16.   Tìm   t  p   giá   tr    l  n   nh  t,   giá   tr    nh    nh  t   c  a   hàm   s    sau          2 1   2 cos   1 y   x  A.    max   1 y   ,       min   1   3 y   B.    max   3 y   ,       min   1   3 y  C.    max   2 y   ,       min   1   3 y   D.    max   0 y   ,       min   1   3 y  Bài   17.   Tìm   t  p   giá   tr    nh    nh  t,   giá   tr    l  n   nh  t   c  a   hàm   s    sau                       1   3 sin   2   4  y   x  A.    min   2 y   ,    max   4 y   B.    min   2 y   ,    max   4 y  C.    min   2 y   ,    max   3 y   D.    min   1 y   ,    max   4 y  Bài   18.   Tìm   t  p   giá   tr    nh    nh  t,   giá   tr    l  n   nh  t   c  a   hàm   s    sau         2 3   2 cos   3 y   x  A.    min   1 y   ,    max   2 y   B.    min   1 y   ,    max   3 y  C.    min   2 y   ,    max   3 y   D.    min   1 y   ,    max   3 y  Bài   19.   Tìm   t  p   giá   tr    nh    nh  t,   giá   tr    l  n   nh  t   c  a   hàm   s    sau         2 4 1   2 sin  y   x  A.      4 min   3  y   ,    max   4 y   B.      4 min   3  y   ,    max   3 y  C.      4 min   3  y   ,    max   2 y   D.      1 min   2  y   ,    max   4 y  Bài   20.   Tìm   t  p   giá   tr    l  n   nh  t,   giá   tr    nh    nh  t   c  a   hàm   s    sau       2   2 2 sin   cos   2 y   x   x

Bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Tô Quốc An

fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694   1  TRẮC NGHIỆM  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Bản demo soạn bằng Latex Tiến Nhanh biên soạn và sưu tầm  1. Tập xác định của hàm số lượng giác  Chú ý 1.     y   =   f   ( x )  g ( x )   có nghĩa khi và chỉ khi   g ( x )   6   =   0 .     y   =      f   ( x )   có nghĩa khi và chỉ khi   f   ( x )   >   0 .     y   =   f   ( x )   g ( x )   có nghĩa khi và chỉ khi   g ( x )   >   0 .  Câu 1.   Tìm tập xác định của hàm số   y   =   cos    x  A   D   = [ 0; 2  ] .   B   D   = [ 0;   +  ) .   C   D   =   R .   D   D   =   R \ { 0 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Lời giải:      x      0 . Vậy tập xác định   D   = [ 0;   +  ) .     Câu 2.   Tìm tập xác định của hàm số   y   =   2 cot   x   +   sin 3 x  A   D   =   R \  {   2   +   k   }  .   B   D   =   R \ { k  } .   C   D   =   R .   D   D   =   R \ { k 2  } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Lời giải:      sin   x   6   =   0    x   6   =   k  . Vậy tập xác định   D   =   R \ { k  }   ,   k      Z .     Câu 3.   Tìm tập xác định của hàm số   y   =   4 tan   x  A   D   =   R \  {   2   +   k   }  .   B   D   =   R \ { k  } .   C   D   =   R .   D   D   =   R \ { k 2  } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Lời giải:   : Điều kiện   cos   x   6   =   0    x   6   =     2   +   k  . Vậy tập xác định   D   =   R \   {   2   +   k  }   ,   k      Z .     Câu 4.   Tìm tập xác định của hàm số   y   =   cos   x  2 cos   x    3  A   D   =   R \  {    6   +   k 2   }  .   B   D   =   R \  {  k     2  }  .  C   D   =   R \  {   6   +   k 2   }  .   D   D   =   R \  {     6   +   k 2  ; 5   6   +   k 2   }  .fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694   2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Lời giải:      2 cos   x    3   6   =   0    cos   x   6   =   3 2      cos   x   6   =   cos     6         x   6   =     6   +   k 2   x   6   =      6   +   k 2    ( k      Z ) . Vậy tập xác định   D   =   R \  {   6   +   k 2  ;      6   +   k 2   }  ,   k      Z .     Câu 5.   Tìm tập xác định của hàm số   y   =   2018 cos   x      cos 3 x  A   D   =   R \ { k  } .   B   D   =   R \  {  k     4  }  .  C   D   =   R \  {   3   +   k 2  ;   k   }  .   D   D   =   R \  {   2   +   k     2  }  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Lời giải:     cos   x   6   =   cos 3 x     {   x   6   =   3 x   +   k 2   x   6   =    3 x   +   k 2      {   x   6   =   k   x   6   =   k     4  ( k      Z ) . Ta biểu diễn các điều kiện lên đường tròn lượng giác rồi hợp điều kiện ta    D   =   R \  {  k     4  }  .  x  y    Câu 6.   Tìm tập xác định của hàm số   y   =   2018cot 2017 2 x  A   D   =   R \  {   2   +   k   }  .   B   D   =   R \  {  k     2  }  .   C   D   =   R .   D   D   =   R \  {   4   +   k     2  }  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Lời giải:   Ta có   y   =   2018cot 2017 2 x   =   2018 cos 2017 2 x  sin 2017 2 x     sin 2017 2 x   6   =   0      sin 2 x   6   =   0    sin 2 x   6   =   0    2 x   6   =   k     x   6   =   k   2   . Vậy   D   =   R \  {   k   2  }  ,   ( k      Z ) .     Câu 7.   Tìm tập xác định của hàm số   y   =   3 tan   x   +   2 cot   x   +   x .  A   D   =   R \  {   2   +   k   }  .   B   D   =   R \  {  k     2  }  .   C   D   =   R \  .   D   D   =   R \  {   4   +   k     2  }  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Lời giải:  y   =   3 tan   x   +   2 cot   x   +   x      y   =   3 sin   x  cos   x   +   2cos   x  sin   x   +   x . Tập xác định của hàm số là:  {   cos   x   6   =   0 sin   x   6   =   0     {  x   6   =     2   +   k   x   6   =   k   Ta biểu diễn các điều kiện lên đường tròn lượng giác rồi hợp điều kiện ta được:  x  y  D   =   R \  {  k     2  }  .  